מן הסתם העיר שאתה נמצא בה מוקפת בערוב, וממילא אין שום בעיה של טלטול בהוצאת הכלב לרשות הרבים. לגבי הוצאתו לרשות הרבים עיין באתר של ישיבת הר ברכה בספר פניני הלכה שבת חלק ב' פרק כ סעיף ב. לגבי הצואה שהכלב עושה, אם היא במקום של הולכים ושבים, מותר לקחתה לפח למרות שהיא מוקצה.